Người dịch: Nguyễn Anh Tuấn

Tóm tắt: Mục đích của bài này là đưa ra một cách giới thiệu về phương trình sóng của Schrodinger. Để đảm bảo tính khúc triết và đơn giản, chỉ những phương trình sóng một chiều độc lập thời gian được nhắc đến. Bằng cách nhắm tới tiến trình lịch sử phát sinh ra phương trình này – một phần không thể thiếu của cơ học lượng tử.



Mở đầu:

Khi buổi bình minh của thế kỷ mới tới gần, các nhà vật lý đang say sưa với cái mà các nhà thông thái Hilạp gọi là hubris – một sự kiêu căng tiêu cực, tự phụ, và sai trái. Quả thực là, Max Planck một chàng thanh niên đang hăm hở theo đuổi vật lý, đã được chủ nhiệm khoa vật lý đại học Munich khuyên rằng: “Các khám phá quan trọng trong vật lý đều đã được thực hiện. Đừng mất công vào vật lý làm gì (Kotz và Treichel, 320).” May thay, anh chàng đã không để ý tới lời khuyên này. Vật lý cổ điển – nghĩa là, cơ học Newton và lý thuyết điện từ Maxwell – dường như đã giải thích cho mọi hiện tượng tự nhiên quan sát được. Đó là một vũ trụ tất định. Các hành tinh, không ngừng quay với sự chính xác khó hiểu của chúng; sự lên xuống của thuỷ triều; sự dao động của con lắc; cách thức các vật trao đổi năng lượng và momentum; các sóng ánh sáng lan truyền trong không gian – lẽ nào tất cả chúng không tuân theo mô hình xác định luận? Chỉ cần đưa ra một vài điều kiện ban đầu của vũ trụ, tất cả các hành vi tương lai của nó sẽ được tính toán.

Than ôi, như thường thấy trong khoa học, một cơn khủng hoảng đã xảy đến với vật lý cổ điển: nó sai lầm khi giải thích một hiện tượng quan trọng. Đó là tai biến tử ngoại, và đứng ở trung tâm của tai biến này chính là chàng trai đã nản với việc theo đuổi vật lý vì lý do: người ta đã khám phá gần hết ngoại trừ một vài chi tiết phụ, chàng thanh niên đó là Max Planck.

Một vật hấp thụ tất cả các bức xạ chiếu tới gọi là vật đen tuyệt đối. Một vật đen gần như tuyệt đối có thể tạo ra bằng cách dùng một hốc có khe hở rất nhỏ. Chỉ một phần không đáng kể bức xạ đi vào hốc thoát được ra ngoài. Sự bức xạ năng lượng đặc trưng của vật đen – đúng như tên gọi của nó – là không thấy được, mà nó nằm trong vùng hồng ngoại của phổ điện từ. Trong vật lý cổ điển, hàm phân bố phổ được cho bởi định luật Raleigh-Jeans,


Trong đó lambda là bước sóng, T là nhiệt độ, và k là hằng số Boltzmann. Giá trị rút ra từ định luật phù hợp rất tốt với thực nghiệm trong vùng bước sóng dài. Tuy nhiên, khi lambda xấp xỉ không, công thức trên cho thấy vật sẽ bức xạ một lượng vô cùng lớn năng lượng tại các bước sóng cực ngắn, ở vùng tử ngoại.

Ý tưởng của mô hình này là các bức xạ lan truyền trong không gian và trao đổi năng lượng giống như một sóng. Nghĩa là, nó liên tục, không định xứ, và lan toả. Newton đã từng có ý kiến đối lập cho rằng nó truyền đi như các hạt rời rạc gọi là corpuscles. Tuy vậy, các thí nghiệm sau đó về giao thoa và nhiễu xạ đã cho thấy ánh sáng là sóng.

Phương phápcủa Planck là phải thay đổi mô hình. Vì mụch tiêu phát triển một mô hình chính xác, giả thiết rằng năng lượng bức xạ hay hấp thụ bởi vật đen theo các phần gián đoạn gọi là quanta, giống như các hạt. Ông đã xác định được hệ thức năng lượng như sau:
E=nhf


Năng lượng được cho bởi một số nguyên n nhân với hằng số Panck h và tần số bức xạ f. Tuy nhiên ông nhấn mạnh đây không phải là cách thức thực tế của tự nhiên, nó chỉ đơn thuần là mô hình. Quả thực, vài năm sau đó khi Einstein sử dụng nguyên lý này để giải thích hiệu ứng quang điện, Planck đã nghi ngờ tính đúng đắn của luận cứ này.

Mặc dù ban đầu ông không đánh giá đúng về nó, nhưng Planck đã mở cánh cửa cho một mô hình mới mà hầu như không một lĩnh vực khoa học nào không động tới nói: cơ học lượng tử. Cụ thể, ông đã vấp phải một vấn đề gai góc đó là lưỡng tính sóng hạt. Ánh sáng có vẻ lan truyền giống như sóng và trao đổi năng lượng như là hạt. Einstein đã bình luận về tính phản trực giác của sự lưỡng phân này như sau:

50 năm nghiền ngẫm cũng không đưa tôi đến giải đáp cho câu hỏi, “lượng tử sáng là cái gì?” Tất nhiên ngày nay mọi người đều nghĩ rằng ông ấy biết câu trả lời, ông ấy chỉ tự dối mình (Knight, 442).

Một chàng trai trẻ tới từ Pháp, một sinh viên Vật Lý mới ra trường, Louis-Victor DeBroglie. Cho rằng khái niệm lượng tử ánh sáng của Planck và Einstein được mở rộng. Là gì nếu không chỉ ánh sáng thể hiện lưỡng tính sóng hạt? Là gì nếu một điện tử hay một proton hoặc một quả bóng chầy hay một hành tinh thể hiện tính chất lưỡng tính này? Và điều này chỉ cho chúng ta biết điều gì về bản chất của vật chất? Câu trả lời của DeBroglie là lưỡng tính sóng hạt không chỉ giới hạn trong trường hợp của ánh sáng. Tất cả các vật từ vi mô đến vĩ mô đều có tính chất này. Ông cho rằng bước sóng của chúng - gọi là sóng vật chất - được cho bởi:


Trong đó h là hằng số Planck, p là moment động lượng, m là khối lượng, và v là vận tốc.
Nguyên lý này nhanh chóng được xác nhận bằng cách dùng tinh thể học x-ray để kiểm tra hành vi của các điện tử. Như thấy trong hình, các điện tử thể hiện một dạng nhiễu xạ đặc trưng của sóng. Có nghĩa là, khi chúng truyền đi, chúng giao thoa với các sóng khác. Sự giao thoa chỉ có thể xuất hiện nếu chúng có tính sóng. Do vậy, vật chất – không chỉ ánh sáng – truyền đi như sóng và trao đổi năng lượng giống như hạt. Vấn đề lưỡng phân sóng hạt của lượng tử sáng là không thể tránh khỏi. Nó có mặt ở khắp nơi trong tự nhiên: một lượng các lượng tử sáng, các photon; trong hạt hạ nguyên tử như electron và proton; trong cú bay của quả bóng chày; trong quỹ đạo của một hành tinh. Tuy nhiên bước sóng của các vật thể vĩ mô, ví như bóng bầu dục và hành tinh, nó quá nhỏ để có thể đo được.


Ấn tượng mạnh bởi sóng vật chất của DeBroglie, Erwin Schrodinger muốn có thời gian để suy nghĩ, để cân nhắc về tất cả sự dính líu này. Schrodinger, một nhà vật lý Áo được biết đến qua các công trình của ông về vật lý của các dây, đã bắt chuyến bay tới biệt thự tại Thuỵ sĩ vào năm 1925, bỏ lại người vợ để sống với một cô nàng gốc Viennese. Điều đem lại của thời kì êm ả trong tư duy này sẽ thay đổi mãi mãi quang cảnh của nền vật lý. Quả vậy, nó đã làm thay đổi cách chúng ta quan niệm về vũ trụ mà chúng ta đang sống.

Mô hình nguyên tử Bohr khi đó được phát triển từ một mô hình hệ mặt trời vi mô trong đó các điện tử quay quanh hạt nhân giống như các hành tinh và ngôi sao. Trong trường hợp của nguyên tử Hydro sự phù hợp giữa tiên đoán lý thuyết và các quan sát thực nghiệm là khá tốt. Tuy nhiên với các nguyên tử nhiều điện tử hơn, thậm chí với Helium chỉ với 2 electron, tiên đoán và thực nghiệm chẳng ăn khớp gì với nhau cả. Schrodinger mong muốn phát triển một mô hnhf phù hợp với các bằng chứng thực nghiệm. Kết quả của kỳ nghỉ lén lút tại Swiss Alps là một mô hình không bắt nguồn từ các mô hình trước đó, một mô hình có thể gọi là một cảm nhận trực giác, một bước nhẩy trong tưởng tượng, một mô hình chính xác đến kinh ngạc.

Trong khuôn khổ bài này vì mụch đích đơn giản xúc tích, chúng tôi sẽ chỉ nhắc tới phương trình sóng Schrodinger một chiều, không phụ thuộc thời gian. Chúng tôi không nói tới phương trình đầy đủ trong sự chói lọi huy hoàng của nó. Phương trình sóng Schrodinger không phụ thuộc thời gian, lẽ ra nên gọi cho đúng là định luật Schrodinger, được cho bởi phương trình vi phân


Trong đó phi(x) là hàm sóng, h-gạch là hằng số Planck chia cho pi, E là tổng năng lượng của hạt, và U(x) là hàm thế năng của hạt.

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình này, các điều kiện biên phải được thiết lập.